EP02: 《导言》烧脑三重奏——哥德尔、艾舍尔与巴赫的跨界幻想

文理两开花

前一集已经成功把大家拉下水了，还有几位朋友给我发了新买的GBE的照片。那就welcome to 天坑，欢迎和我们一起填天坑。无论后面发生了什么都不要怪我们，就当给大脑来了一次铁三训练。
本期和大家聊一聊导言。我读的大部分书，都会直接从第一章开始，几乎从来不看导言。但是GEB不一样，《导言》部分是最吸引人的，也是一篇非常精彩的、独立的提纲挈领之作；这是让你脑回路打开的章节。
当然啦，也很有可能，大家和GEB的缘分也永远停留在这一章。
这一章把哥德尔的数学、埃舍尔的画作、和巴赫的音乐丝滑交织在了一起。数学、音乐、艺术这三个领域，精通其中一个已经很难。三个全精通，且能串在一起，发现共同规律，还是得在奇人写的奇书中体会。
本期剪辑：小碗
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时间戳：
01:04 《导言》部分：为什么哥德尔的数学、艾舍尔的画作、巴赫的音乐能在这本书中交织在一起？侯世达算是博学家吗？
17:15 巴赫的音乐：用数学的视角是怎么看的？
30:50 埃舍尔画和哥德尔的不完全性定理的相似性？是怎么对上的？
47:15 哥德尔为什么是Will老师的精神图腾？哥德尔不完备定理如量子力学般伟大？
50:31 数学曾经出现过三次危机？30年代以前的数理逻辑史：数学基础的大厦是怎么被哥德尔推翻的？
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小跑录后感：
01
“博学家”的脑回路
《GEB》巧妙地将数学、绘画和音乐这三个看似不相关的领域融合在一起。如果听到Will老师的延伸推断，会马上get到：侯世达也许还在潜移默化中将哥德尔定理、图灵停机问题和塔斯基语义学真理这三大经典问题整合在了一起（逻辑上等价），形成了一个“跨界天团”，横跨数学、计算机科学和语义学。只能用一个字来表达：服！
如果将《GEB》视为一本“奇书”，那么哥德尔定理就是其中的一条“奇定理”——在侯世达的解读体系中，它不仅能涉及数学，还能触达音乐和美术的灵魂——这是其他数学定理（如哥德巴赫猜想和费马大定理）所不具备的跨领域特性。只能用两个字来表达：奇特！
不仅如此，侯世达老师还抢了文科生的风头：用 “坡道模型”的叙述方式，先从巴赫音乐中的同构和循环结构，引出埃舍尔绘画中的“左手画右手”的怪圈，最终落脚到哥德尔定理的“自指”概念，由浅入深，层层递进。只能用三个字来表达：博学家！
能被称为博学家的人不多——英文“polymath”源自希腊语，字面意思就是 “学了很多的人”。
其他能称得上“博学家”的还包括罗素，这位获得诺贝尔文学奖的精通数学的哲学家。他因1929年出版的《婚姻与道德》而文学获奖，这本书在当时尺度很大——主要观点包括：清教徒对待性的态度是人类不幸的根源、倡导试婚和离婚从简、对婚外性行为和同性恋持宽容态度。我觉得这倒也像是一个逻辑思维很强的人提出的观点（简称直男观点）。
还有赫伯特·西蒙（Herbert Simon），我在《牧羊人的哲学课》中写到过这位大神。西蒙是唯一获得诺贝尔经济学奖、图灵奖和世界人工智能终生成就奖的科学家，拥有9个博士学位，被誉为人工智能之父，也是认知心理学、符号学、经济管理等多个学科的先驱。他在70多岁时开始学习中文，并成为首届中科院外籍院士，还精通琴棋书画。
现代人会觉得这些人是神奇的存在，但其实“博学家”在西方思想史上并不罕见。比如毕达哥拉斯，不仅创立了数学体系，还精通音乐——200年前开始流行的音律学就是从毕达哥拉斯时代传承下来的。实际上，许多历史上的大家都是跨界达人，既是博学家，也是通才。
文理分科是现代人（前苏联教育体制）的产物，从历史角度看，真正的通才是不分科的，一个人的涉猎领域越广，其开发、想象和归纳能力就越强——他们真真是“文理两开花”。
可惜，在现代教育体制中，联想能力太强的孩子常常被批评为不专注。只能用四个字来表达：无话可说。
02
看巴赫如何拍出 “史上最高智商马屁”
普鲁士国王腓德烈大帝是巴赫的超级粉丝。有一天，他邀请巴赫到宫中，即兴创作一首六声部的赋格。要知道，这在当时是非常了不起且复杂的创作，在巴赫的所有作品中，五声部以上的赋格非常罕见。
这次接见之后，巴赫回去后，以国王提供的主题创作了《音乐的奉献》——这是史上最高智商、最高级的马屁之作。该作品包括一首三声部赋格、一首六声部赋格、十首卡农曲和一首三重奏鸣曲——怎么看怎么像一场数学表演和炫技。
更烧脑的是，《音乐的奉献》中的十首卡农大多没有写全，而是以谜题的形式留给人们去探求和发现。巴赫在这些卡农中大量运用了倒影、逆行、增值、减值等变换复调的手法，简直是炫技炫出了天际。
巴赫还是文字双关语大师，和侯世达一样：在乐谱的扉页上写了一句：“奉旨承诏，将歌曲及余部以卡农技巧予以解决”。“卡农”（canonic）这个词有双关的意思，不仅指“用卡农”的技巧，还包含“用可能有的最好方式”的意思。这句题辞的每个词的首字母排在一起是RICERCAR（ri-cher-ka），意大利语意为“探求”——《音乐的奉献》中确实有许多东西需要探求。
高智商人的炫技就是这么朴实无华且枯燥。
不过侯世达以巴赫开场，真的没毛病吗？
音乐可以从两个角度来看待：普通人主要被主旋律打动，而专业音乐人士则更注重曲子的结构、对音的使用和多声部的配合。巴赫的音乐结构，如卡农和赋格，展现了音乐的严谨调性；但是“结构”与能成为世界名曲、触动所有人心绪、那只可意会不可言传的“感觉”依然无法划等号——类似meme、迷因、和叙事（严重推荐大家重新复习一下“文理底层逻辑六大筐”之——“模因与结构”：链接：https://www.xiaoyuzhoufm.com/episodes/6254e74d042a792063f1456e）。
侯世达为强调了音乐的“结构”部分，并将其与哥德尔不完全定理联系起来——似乎稍稍“贬低”了音乐——博大，不只有逻辑，还有神奇的情感链接超能力。稍显牵强。
虽然但是，这种关联依然非常精彩。
03
数学学渣埃舍尔：艺术才是抽象思维最好的好基友？
他是所有数学学渣们的希望——埃舍尔是绝无仅有，能用画来表达复杂的数学概念的艺术家——虽然埃舍尔老师也是数学学渣，在校时数学成绩经常不及格。
但他的作品却充满了数学元素：无穷、对称和递归。他是唯一能够通过画作呈现悖论的画家——其作品与哥德尔不完备定理有着深刻的相似性：
哥德尔的发现虽然高深，其实根源都比较古老和直观，但普通人想不到。比如"说谎者悖论"这个自我指涉的逻辑怪圈：当一个人说"我在说谎"这句话时，如果它是真的，那么这个人就是在说谎，那这句话本身就是假的；但如果这句话是假的，那说这句话的人实际上是在说实话，这句话就变成真的了。
无论我们假定这句话真还是假，都会导致矛盾。它的真假无法被二元逻辑所确定，直接违背了亚里士多德逻辑中“排中律”的基本原则：即一个陈述要么为真要么为假。这些悖论展示了主体与客体的混淆，造成了逻辑上的“自指”现象。
这么绕的逻辑，在埃舍尔的画中却一览无遗——你肯定一看就明白：
大家都玩儿过《纪念碑谷》（Monument Valley）吧？这款游戏的灵感就来源于埃舍尔的名作——《上升与下降》。画中，一队人沿着楼梯向上走，拐了四个弯后，竟然又回到了原处！？在你眼前的就是视觉悖论：既向上又向下的楼梯。
埃舍尔另一幅著名作品是《画手》，俗称“左手画右手”，一只手在画画，而画出来的手又在画自己，这种自制现象展示了语义学悖论画中两只手互相绘制对方，形成了自引用（Self-Reference）的递归结构——这种自我参照是递归的核心特征之一。还有《画廊》:一个看画的人所看的画中又包含了他自己，整体与部分混成一锅的迷宫，无限循环（Loop）让观者无法跳出无限的自我复制或引用。
还有《昼与夜》和《瀑布》：展示了无穷循环和整体与部分的关系。这些视觉悖论相对于音乐和数学更容易让普通人理解。
绘画作为一种视觉艺术，提供的信息量比音乐更多，表现力也更强。埃舍尔的作品展示了三维物体在二维空间中的矛盾——这种怪圈正是我们试图用简单方式表达复杂事物时所产生的悖论。
04
哥德尔为何“伟大”？
Will 老师对哥德尔的推崇溢于言表，甚至将自己的头像换成了同款。这引发了我对哥德尔思想的强烈兴趣。
以我数学学渣浅薄的理解：哥德尔的伟大之处在于他能以一己之力（思想），震感数学基础；在于他和三次数学危机的关系。
20世纪30年代前的数理逻辑大厦，建立在将推理过程“机械化、形式化、公理化”的努力之上。自从人类意识到自己与其他动物最大的区别在于推理能力后，历史上最聪明人都开始思考如何将推理过程机械化或形式化。
文科生实在不明白为什么这些聪明人，都热衷于将事物“形式化”，总觉得哪里不对。
果然，还真有拧巴的地方——非欧几何就是一个很好的开端，挑战欧几里得几何学的形式化。当然只是一个微小的开始，马上各领域的智者们以更严密的方式开始各种“形式化”反扑。理科生好像都有一种偏执——都在追寻一种“可控”——更清晰、更准确、更机械化。
希尔伯特有分教：自然科学中不可能存在不可知的事物，一切都是可知的。只要我们确定好数学中的所有公理，剩下的事情大家修补一下，就没有大问题了。
直到哥德尔横空出世。不得不说，用哥德尔的眼光看世界，会“正常”很多——至少文科生会这么认为。
如果用哥德尔的眼睛看世界：就像画了一个大圈儿，无论有多大，即使是整个宇宙，也无法把所有真理包进来，里面总有人类数理逻辑思维无法完全解释的内容。
那圈儿外的是什么呢？一定是人类理性局限之外的某种存在——所有数理逻辑、自然规律、人类已知认知中的所有“不可知”。哥德尔不完备定理的出现彻底颠覆了“一切可知”理念，他证明了：即使在看似严谨的数学体系中，也存在着无法被证明的真命题。
05
数学历史上的三次危机
第一次是毕达哥拉斯学派发现无理数，通过扩大认知领域解决了这个问题，最终接受了无理数。第二次危机由牛顿引发，“无穷大和无穷小”——分析学后来通过数列极限的方法解决了这些问题，将无穷大和无穷小关进了“笼子”。
第三次数学危机源于对数学基础的误解。当时的聪明人们，以为通过集合论已经奠定了稳固的基础。但罗素的“理发师悖论”揭示了集合论的矛盾，动摇了数学的根基。这次危机也催生了三大流派：逻辑主义、形式主义和直觉主义。
逻辑主义由罗素坚定站台——认为逻辑学（命题逻辑和谓词逻辑）可以构建完备的数学系统。罗素在《数学原理》第一版第379页（或者362页）中证明了——“1+1=2”。这一复杂证明曾被讽刺为“伟大的著作，献给那些不知道1+1=2的人”。
形式主义由希尔伯特提出，他认为数学证明是一种符号操作，不需要考虑实际意义。希老师认为通过一套形式符号系统，可以推出所有数学定理。直觉主义提出自然数是上帝创造的，其余都是人为的——数学的根源在于自然数，而非逻辑或符号操作。自然数被认为是超越人类逻辑思维的东西，仿佛是上帝植入我们大脑的概念。
谁知天降哥德尔不完备定理，对逻辑主义和形式主义提出了挑战。他将逻辑语句转化为数学运算，证明了在任何形式系统中都会存在既真又无法证明的命题——正面动摇了逻辑主义和形式主义的基础——数学系统无法自证完备。
06
从哥德尔到人工智能
这段数理逻辑史的精彩之处在于（文科生认为）——它也许可以与现在的AI热潮联系起来。
文科生的脑回路是这么发散的：
整个数理逻辑史的发展，似乎都有一个标准动作——试图将思维过程机械化。这种努力甚至可以被看作是整个计算机和人工智能史的一部分。问题在于，思维过程是否真的能够被完全机械化？三次数学危机好像已经给出了答案：过程中出现太多起伏和矛盾。没准儿与目前热门的“scaling law”之争也有关系。
Scaling law是现在最热的信仰，大家认为OpenAI的成功在于将模型做得更大，认为庞大的神经网络和大量数据训练可以创造奇迹。然而，不同声音一直存在，最近好像越来越大声——比如香港大学马俊老师的刷屏文章《如果相信只靠Scaling Laws能实现AGI，你该改行了》：仅靠scaling law就能实现AGI的信仰，需要重新审视。
新的方法不能装作不存在——这种探索似乎又回到了侯世达的老问题：
到底什么是人类的思维？
我们是否真正理解了思维的本质？
目前的人工智能到底是不是真正的人工智能？
一切似乎又与哥德尔完美闭环——他颠覆了思维推理可以完全形式化、公理化和机械化的理念，动摇了30年代前后建立起来的数学基础——现在对人工智能信仰为何不能？
哥德尔的不完全性定理揭示了数学中存在的怪圈，而不仅仅是逻辑中的问题——对哲学有深远的影响——至少表明逻辑和自然数之间的关系，并不如我们所想象的那样简单。
他的发现震撼了许多致力于建立数学基础的学者，革命性堪比量子力学：逻辑都无法完全导出数学，数学真有可能是更高层次的逻辑——一点不夸张（文科生都这么认为）。
数学家们追求的是一个不依赖于人的形式系统，以确保交流时的准确性，避免误解。
这种对“准确性”的追求在数学和理科理所当然。但是，如果试图将这种形式化方法推广到人类社会的其他领域，比如经济学，几乎100%会出问题。
这也许就是为什么文科生总会寻找一切机会，抵触这种“完全逻辑化”的倾向——人类和人类社会这种独特的存在，真的能被严密的逻辑和数学模型所涵盖吗？。
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